本文基于阿顾同学博客进行整理
原文链接https://blog.csdn.net/u010452388/article/details/81283998
文章内容我感觉是基于左神的课进行的整理，我曾经听过左神的课，也有笔记，倍感熟悉。
下面进入正题：
大根堆和小根堆
性质：每个结点的值都大于其左孩子和右孩子结点的值，称之为大根堆；每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值，称之为小根堆。如下图
还有一个基本概念：查找数组中某个数的父结点和左右孩子结点，比如已知索引为i的数，那么
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父结点索引：(i-1)/2（这里计算机中的除以2，省略掉小数）（python中用//即可）
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左孩子索引：2*i+1
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右孩子索引：2*i+2
上述公式是堆排序算法的核心。
所以上面两个数组可以脑补成堆结构，因为他们满足堆的定义性质（每个结点大于或者小于它的左孩子和右孩子）：
大根堆：arr(i)>arr(2i+1) && arr(i)>arr(2i+2)
小根堆：arr(i)<arr(2i+1) && arr(i)<arr(2i+2)
堆排序基本步骤
基本思想：
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首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时，整个数组的最大值就是堆结构的顶端
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将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1（heap_size控制堆的大小，即heap_size - 1）
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将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组
1、构造堆
将无序数组构造成一个大根堆（升序用大根堆，降序就用小根堆）
假设存在以下数组
主要思路：第一次保证0 ~ 0位置大根堆结构（废话），第二次保证0 ~ 1位置大根堆结构，第三次保证0 ~ 2位置大根堆结构…直到保证0 ~ n-1位置大根堆结构
方法：每次新插入的数据都与其父结点进行比较，如果插入的数比父结点大，则与父结点交换，否则一直向上交换，直到小于等于父结点，或者来到了顶端（寻找父节点采用索引，父结点索引：(i-1)/2）
插入6的时候，6大于他的父结点3，即arr(1)>arr(0)，则交换；此时，保证了0 ~ 1位置是大根堆结构，如下图：
(友情提示：待交换的数为蓝色，交换后的数为绿色)
插入8的时候，8大于其父结点6，即arr(2)>arr(0),则交换；此时，保证了0~2位置是大根堆结构，如下图
插入5的时候，5大于其父结点3，则交换，交换之后，5又发现比8小，所以不交换；此时，保证了0~3位置大根堆结构，如下图：
插入7的时候，7大于其父结点5，则交换，交换之后，7又发现比8小，所以不交换；此时整个数组已经是大根堆结构
2、固定最大值再构造堆
此时，我们已经得到一个大根堆，下面将顶端的数与最后一位数交换，然后将剩余的数再构造成一个大根堆
（友情提示：黑色的为固定好的数字，不再参与排序）
此时最大数8已经来到末尾，则固定不动，后面只需要对顶端的数据进行操作即可，拿顶端的数与其左右孩子较大的数进行比较，如果顶端的数大于其左右孩子较大的数，则停止，如果顶端的数小于其左右孩子较大的数，则交换，然后继续与下面的孩子进行比较
下图中，5的左右孩子中，左孩子7比右孩子6大，则5与7进行比较，发现5<7，则交换；交换后，发现5已经大于他的左孩子，说明剩余的数已经构成大根堆，后面就是重复固定最大值，然后构造大根堆
如下图：顶端数7与末尾数3进行交换，固定好7，
剩余的数开始构造大根堆 ，然后顶端数与末尾数交换，固定最大值再构造大根堆，重复执行上面的操作，最终会得到有序数组
总结
到这里，大家应该对堆排序都有了自己的见解，我们对上面的流程总结下：
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首先将无需数组构造成一个大根堆（新插入的数据与其父结点比较）
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固定一个最大值，将剩余的数重新构造成一个大根堆，重复这样的过程
代码
代码中主要两个方法：
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将待排序数组构造成一个大根堆（元素上升）
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固定一个最大值，将剩余的数再构造成一个大根堆（元素下降）
java代码如下：
//堆排序
public static void heapSort(int[] arr) {
//构造大根堆
heapInsert(arr);
int size = arr.length;
while (size > 1) {
//固定最大值
swap(arr, 0, size - 1);
size--;
//构造大根堆
heapify(arr, 0, size);
}
}
//构造大根堆（通过新插入的数上升）
public static void heapInsert(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
//当前插入的索引
int currentIndex = i;
//父结点索引
int fatherIndex = (currentIndex - 1) / 2;
//如果当前插入的值大于其父结点的值,则交换值，并且将索引指向父结点
//然后继续和上面的父结点值比较，直到不大于父结点，则退出循环
while (arr[currentIndex] > arr[fatherIndex]) {
//交换当前结点与父结点的值
swap(arr, currentIndex, fatherIndex);
//将当前索引指向父索引
currentIndex = fatherIndex;
//重新计算当前索引的父索引
fatherIndex = (currentIndex - 1) / 2;
}
}
}
//将剩余的数构造成大根堆（通过顶端的数下降）
public static void heapify(int[] arr, int index, int size) {
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
while (left < size) {
int largestIndex;
//判断孩子中较大的值的索引（要确保右孩子在size范围之内）
if (arr[left] < arr[right] && right < size) {
largestIndex = right;
} else {
largestIndex = left;
}
//比较父结点的值与孩子中较大的值，并确定最大值的索引
if (arr[index] > arr[largestIndex]) {
largestIndex = index;
}
//如果父结点索引是最大值的索引，那已经是大根堆了，则退出循环
if (index == largestIndex) {
break;
}
//父结点不是最大值，与孩子中较大的值交换
swap(arr, largestIndex, index);
//将索引指向孩子中较大的值的索引
index = largestIndex;
//重新计算交换之后的孩子的索引
left = 2 * index + 1;
right = 2 * index + 2;
}
}
//交换数组中两个元素的值
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
C++ 代码如下： （其实java的代码已经写的很去语言化了，这部分就是把细微的差异变一下,这里直接使用C++ std中的swap函数
void heapSort(vector<int>& arr) {
//构造大根堆
heapInsert(arr);
int size = arr.size();
while (size > 1) {
swap(arr[0], arr[size - 1]);
size--;
heapify(arr,0,size);
}
}
void heapInsert(vector <int>& arr){
int size = arr.size();
for (int i = 0;i < size; i++){
int currentindex = i;
int fatherindex = (currentindex - 1)/2;
while (arr[currentindex] > arr[fatherindex]){
swap(arr[currentindex], arr[fatherindex]);
currentindex = fatherindex;
fatherindex = (currentindex - 1)/2;
}
}
}
void heapify (vector <int>& arr, int index, int size){
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
while (left < size){
int largestindex;
if (arr[left] < arr[right] && right < size){
largestindex = right;
}
else{
largestindex = left;
}
if (arr[index] > arr[largestindex]) {
largestindex = index;
}
if (index == largestindex){
break;
}
swap(arr[largestindex], arr[index]);
index = largestindex;
left = 2 * index + 1;
right = 2 * index + 2;
}
}
